CREACIÓN DE HERRAMIENTA EN LÍNEA, ÚTIL PARA ABORDAR UN PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA DEL TIPO DIRICHLET
Villarreal G. , Ramiro A.
CREATION OF ONLINE TOOL, USEFUL TO HANDLE A DIRICHLET’S BOUNDARY VALUE PROBLEM
Tema Dirichlet
Tema sistemas físicos estables
Tema diferencias finitas
Tema Laplace equation
Tema Dirichlet
Tema stable physical systems
Tema finite differences
On the other hand, to establish the degree of approximation between the analytical model “MA” (the Laplace equation) and the numerical model “MD” (finite difference method), a Taylor series expansion was carried out, up to the fifth term, of an arbitrary value “u(x,y)” of the scalar field, with which said approach arrives at the following result
Where the term “TD” is called “discrepancy term” since it marked the quantitative difference between said mathematical models. Its analytical form obtained was the following
The term “h” represented the way the mesh had been sectioned. In addition to this, if the scalar field varied smoothly and the boundary conditions were homogeneous, a general solution to the Laplace differential equation could be obtained. In this solution, constants were generated that depended on the boundary
conditions, which revealed, for a specific stable physical system, the dependence of the TD on the square of h.
It clearly highlighted the fact that by making the term h smaller, this discrepancy term became irrelevant and consequently, both models, analytical and numerical, showed their approximation.
To solve the linear system of first degree equations, Cramer's rule was used. To create the algorithm, the Geogebra Classic software, Version 6.0.801.0, which is free, was used. The link to access this digital tool is the web address, https://www.geogebra.org/m/rmwrxxsa. The objective of the creation of this tool was based on the study of physical systems under equilibrium or stable conditions, such as: stable thermal flow over a conductive sheet, a static distribution of electrical potential on a surface, a pressure distribution that describes the stable flow of a fluid, etc.
Descripción Se programó una herramienta digital para utilizarse en línea y gratuita, a través de la plataforma Geogebra. Dicha herramienta resuelve numéricamente la ecuación de Laplace con valores en la frontera (del tipo Dirichlet) para una malla rectangular de 6×6, en la que 20 valores están en la frontera y 25 valores están en el interior, todos distribuidos de manera uniforme en coordenadas cartesianas. El método numérico utilizado para resolver la ecuación diferencial fue el método de diferencias finitas, en el cual se apreció que, para calcular cada valor del campo escalar “ui,j” dentro de la malla rectangular, se realizó el promedio de los valores adyacente al valor en cuestión, es decir
Por otro lado, para plantear el grado de aproximación entre el modelo analítico “MA” (la ecuación de Laplace) y el modelo numérico “MD” (método de diferencias finitas) se realizó una expansión en serie de Taylor, hasta el quinto término, de un valor arbitrario “u(x,y)” del campo escalar, con lo que dicho planteamiento llega al siguiente resultado
En donde el término “TD” es denominado “término de discrepancia”, ya que el mismo marcó la diferencia cuantitativa entre dichos modelos matemáticos. Su forma analítica obtenida fue la siguiente
El término “h” representó la forma en que había sido seccionado la malla. Adicional a esto, si el campo escalar variaba de manera suave y las condiciones en la frontera eran homogéneas, se podía obtener una solución general para la ecuación diferencial de Laplace. En dicha solución, se generaron constantes que dependían de las condiciones de frontera, con lo que se desveló, para un sistema físico estable en concreto, la dependencia del TD con el cuadrado de h.
Resaltó a la vista, el hecho de que al hacer el término h más pequeño, este término de discrepancia se volvió irrelevante y consecuentemente, ambos modelos, analíticos y numérico, mostraron su aproximación.
Para resolver el sistema lineal de ecuaciones de primer grado, se utilizó la regla de Cramer. Para la creación del algoritmo se utilizó el software Geogebra Clásico, Versión 6.0.801.0, el cual es gratuito. El link para acceder a esta herramienta digital es la dirección web, https://www.geogebra.org/m/rmwrxxsa. El objetivo de la creación de esta herramienta estuvo basado en el estudio de sistemas físicos bajo condiciones de equilibrio o estables, tales como: el flujo térmico estable sobre una lámina conductora, una distribución estática de potencial eléctrico sobre una superficie, una distribución de presión que describe el flujo estable de un fluido, etc.
Tipo info:eu-repo/semantics/publishedVersion
Tipo Artículo revisado por pares
Identificador 10.48204/j.tecno.v26n2.a5396
Fuente 2415-0940
Fuente 1609-8102
Derechos http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0